Рабочее тело тепловой машины получило количество

Физика

Второе начало термодинамики возникло из анализа работы тепловых двигателей (машин). В формулировке Кельвина оно выглядит следующим образом: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу.

Схема действия тепловой машины (теплового двигателя) представлена на рис. 6.3.

Цикл работы теплового двигателя состоит из трех этапов:

1) нагреватель передает газу количество теплоты Q 1 ;

2) газ, расширяясь, совершает работу A ;

3) для возвращения газа в исходное состояние холодильнику передается теплота Q 2 .

Из первого закона термодинамики для циклического процесса

где Q — количество теплоты, полученное газом за цикл, Q = Q 1 − Q 2 ; Q 1 — количество теплоты, переданное газу от нагревателя; Q 2 — количество теплоты, отданное газом холодильнику.

Поэтому для идеальной тепловой машины справедливо равенство

Когда потери энергии (за счет трения и рассеяния ее в окружающую среду) отсутствуют, при работе тепловых машин выполняется закон сохранения энергии

где Q 1 — теплота, переданная от нагревателя рабочему телу (газу); A — работа, совершенная газом; Q 2 — теплота, переданная газом холодильнику.

Коэффициент полезного действия тепловой машины вычисляется по одной из формул:

η = A Q 1 ⋅ 100 % , η = Q 1 − Q 2 Q 1 ⋅ 100 % , η = ( 1 − Q 2 Q 1 ) ⋅ 100 % ,

где A — работа, совершенная газом; Q 1 — теплота, переданная от нагревателя рабочему телу (газу); Q 2 — теплота, переданная газом холодильнику.

Наиболее часто в тепловых машинах используется цикл Карно , так как он является самым экономичным.

Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат, показанных на рис. 6.4.

Участок 1–2 соответствует контакту рабочего вещества (газа) с нагревателем. При этом нагреватель передает газу теплоту Q 1 и происходит изотермическое расширение газа при температуре нагревателя T 1 . Газ совершает положительную работу ( A 12 > 0), его внутренняя энергия не изменяется (∆ U 12 = 0).

Участок 2–3 соответствует адиабатному расширению газа. При этом теплообмена с внешней средой не происходит, совершаемая положительная работа A 23 приводит к уменьшению внутренней энергии газа: ∆ U 23 = − A 23 , газ охлаждается до температуры холодильника T 2 .

Участок 3–4 соответствует контакту рабочего вещества (газа) с холодильником. При этом холодильнику от газа поступает теплота Q 2 и происходит изотермическое сжатие газа при температуре холодильника T 2 . Газ совершает отрицательную работу ( A 34 U 34 = 0).

Участок 4–1 соответствует адиабатному сжатию газа. При этом теплообмена с внешней средой не происходит, совершаемая отрицательная работа A 41 приводит к увеличению внутренней энергии газа: ∆ U 41 = − A 41 , газ нагревается до температуры нагревателя T 1 , т.е. возвращается в исходное состояние.

Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, вычисляется по одной из формул:

η = T 1 − T 2 T 1 ⋅ 100 % , η = ( 1 − T 2 T 1 ) ⋅ 100 % ,

где T 1 — температура нагревателя; T 2 — температура холодильника.

Пример 9. Идеальная тепловая машина совершает за цикл работу 400 Дж. Какое количество теплоты передается при этом холодильнику, если коэффициент полезного действия машины равен 40 %?

Решение . Коэффициент полезного действия тепловой машины определяется формулой

где A — работа, совершаемая газом за цикл; Q 1 — количество теплоты, которое передается от нагревателя рабочему телу (газу).

Искомой величиной является количество теплоты Q 2 , переданное от рабочего тела (газа) холодильнику, не входящее в записанную формулу.

Связь между работой A , теплотой Q 1 , переданной от нагревателя газу, и искомой величиной Q 2 устанавливается с помощью закона сохранения энергии для идеальной тепловой машины

Уравнения образуют систему

η = A Q 1 ⋅ 100 % , Q 1 = A + Q 2 , >

которую необходимо решить относительно Q 2 .

Для этого исключим из системы Q 1 , выразив из каждого уравнения

Q 1 = A η ⋅ 100 % , Q 1 = A + Q 2 >

и записав равенство правых частей полученных выражений:

A η ⋅ 100 % = A + Q 2 .

Искомая величина определяется равенством

Q 2 = A η ⋅ 100 % − A = A ( 100 % η − 1 ) .

Расчет дает значение:

Q 2 = 400 ⋅ ( 100 % 40 % − 1 ) = 600 Дж.

Количество теплоты, переданной за цикл от газа холодильнику идеальной тепловой машины, составляет 600 Дж.

Пример 10. В идеальной тепловой машине от нагревателя к газу поступает 122 кДж/мин, а от газа холодильнику передается 30,5 кДж/мин. Вычислить коэффициент полезного действия данной идеальной тепловой машины.

Решение . Для расчета коэффициента полезного действия воспользуемся формулой

η = ( 1 − Q 2 Q 1 ) ⋅ 100 % ,

где Q 2 — количество теплоты, которое передается за цикл от газа холодильнику; Q 1 — количество теплоты, которое передается за цикл от нагревателя рабочему телу (газу).

Преобразуем формулу, выполнив деление числителя и знаменателя дроби на время t :

η = ( 1 − Q 2 / t Q 1 / t ) ⋅ 100 % ,

где Q 2 / t — скорость передачи теплоты от газа холодильнику (количество теплоты, которое передается газом холодильнику в секунду); Q 1 / t — скорость передачи теплоты от нагревателя рабочему телу (количество теплоты, которое передается от нагревателя газу в секунду).

В условии задачи скорость передачи теплоты задана в джоулях в минуту; переведем ее в джоули в секунду:

• от нагревателя газу —

Q 1 t = 122 кДж/мин = 122 ⋅ 10 3 60 Дж/с ;

• от газа холодильнику —

Q 2 t = 30,5 кДж/мин = 30,5 ⋅ 10 3 60 Дж/с .

Рассчитаем коэффициент полезного действия данной идеальной тепловой машины:

η = ( 1 − 30,5 ⋅ 10 3 60 ⋅ 60 122 ⋅ 10 3 ) ⋅ 100 % = 75 % .

Пример 11. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, равен 25 %. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия, если температуру нагревателя увеличить, а температуру холодильника уменьшить на 20 %?

Решение . Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется следующими формулами:

• до изменения температур нагревателя и холодильника —

η 1 = ( 1 − T 2 T 1 ) ⋅ 100 % ,

где T 1 — первоначальная температура нагревателя; T 2 — первоначальная температура холодильника;

• после изменения температур нагревателя и холодильника —

η 2 = ( 1 − T ′ 2 T ′ 1 ) ⋅ 100 % ,

где T ′ 1 — новая температура нагревателя, T ′ 1 = 1,2 T 1 ; T ′ 2 — новая температура холодильника, T ′ 2 = 0,8 T 2 .

Уравнения для коэффициентов полезного действия образуют систему

η 1 = ( 1 − T 2 T 1 ) ⋅ 100 % , η 2 = ( 1 − 0,8 T 2 1,2 T 1 ) ⋅ 100 % , >

которую необходимо решить относительно η 2 .

Из первого уравнения системы с учетом значения η 1 = 25 % найдем отношение температур

T 2 T 1 = 1 − η 1 100 % = 1 − 25 % 100 % = 0,75

и подставим во второе уравнение

η 2 = ( 1 − 0,8 1,2 ⋅ 0,75 ) ⋅ 100 % = 50 % .

Искомое отношение коэффициентов полезного действия равно:

η 2 η 1 = 50 % 25 % = 2,0 .

Следовательно, указанное изменение температур нагревателя и холодильника тепловой машины приведет к увеличению коэффициента полезного действия в 2 раза.